東京女子大学トポロジーセミナー

• 第5回
  • 日時: 2023年12月9日(土) 13:30〜
    
  • 場所: 東京女子大学9号館9101教室＋オンライン(ZOOM)
    
  • 招待講演:
    • 講演者: 古宇田 悠哉氏 (慶應義塾大学・広島大学 ${\rm WPI-SKCM^2}$)
      
    • 題目: Homotopy classification of biaxial nematic liquid crystal textures
      
    • アブストラクト:
      2022年10月に発足した，広島大学WPI拠点「持続可能性に寄与するキラルノット超物質拠点」で行っている結び目理論の応用研究の話題から，二軸ネマティック液晶（四元数群 $Q$ による商空間 $S^3/Q$ を秩序変数空間とする系）の位相欠陥のホモトピー分類についてお話をしたいと思います．数学的なモデルとしては，3次元球面内の空間グラフの補空間とその $S^3/Q$ バンドルの切断の組をすべて考え，これらに（物理を背景にもつ）同値関係を与えたものを考えます．モノドロミーを通じてこれを $Q$-彩色空間グラフの同値類として表現し，分類を完成させました．分類の方針は，一般の群 $G$ による彩色に対しても適用可能です．本研究は，同拠点研究員の Tamas Kalman 氏（東京工業大学），野崎雄太氏（横浜国立大学），寺垣内政一氏（広島大学）との共同研究の内容に基づきます．

  • 自由講演:
    • 講演者: 柴山 祐里佳氏 (東京女子大学大学院理学研究科)
    • 題目: Conway-Gordon-Sachs の定理と Simon 不変量について (新國 亮氏(東京女子大学)との共同研究)

    • 講演者: 櫻井 みぎ和氏 (芝浦工業大学)
    • 題目: Virtual knot の clasp-pass move と arrow polynomial

• 第4回
  • 日時: 2023年10月28日(土) 13:30〜
    
  • 場所: 東京女子大学6号館6210教室＋オンライン(ZOOM)
    
  • 招待講演:
    • 講演者: 鈴木 正明氏 (明治大学)
      
    • 題目: Twisted Alexander Vanishing order
      
    • アブストラクト:
      Suppose that there exists a surjective homomorphism of a knot group onto a finite group. The composition with the regular representation of the finite group provides the twisted Alexander polynomial of the knot. We focus on the order of the smallest finite group so that the corresponding twisted Alexander polynomial is zero, which we call TAV order (Twisted Alexander Vanishing order). In this talk, we first recall the definition of the twisted Alexander polynomial, and see some examples and properties of TAV order.

  • 自由講演:
    • 講演者: 新國 亮氏 (東京女子大学)
    • 題目: Crossing numbers for graphs and $\triangle Y$ moves (with Y. Huh (Hanyang University))

• 第3回
  • 日時: 2023年6月10日(土) 13:30〜
    
  • 場所: 東京女子大学9号館9101教室＋オンライン(ZOOM)
    
  • 招待講演:
    • 講演者: 清水 理佳氏 (群馬工業高等専門学校)
      
    • 題目: 結び目射影図の独立領域数と交代ひずみ度について
      
    • アブストラクト:
      向き付けられた結び目図式上に基点をとり、その結び目図式を一周たどって帰ってくるとき、各交点を2回ずつ通る。そのうち、先に下を通る交点の数を、その基点における「ひずみ度」という。上手く基点を選べばひずみ度が0となる結び目図式はほどけた結び目を表すように（逆は言えない）、ひずみ度は結び目図式のある複雑さや絡まり具合を表す。

      ひずみ度のふるまいを見ることによって、結び目図式だけでなく結び目射影図の特徴も見ることができる。例えば、ひずみ度が0の結び目図式を同じ基点から逆向きにたどったとき、ひずみ度が大きくなるものとそうでもないものがあり、それは結び目図式の形そのもの、つまり射影図からきている性質ともいえる。

      結び目射影図において、全ての向き付けられた交代図式における、全ての基点におけるひずみ度の最小値を、その結び目射影図の交代ひずみ度と呼ぶ。交代図式は交差の上下を繰り返すことから、ひずみ度を小さくすることも大きくすることも期待できなさそうだが、その値も、交点数の半分といった一定の値には落ち着かず射影図の形によって様々である。たとえば８交点の既約な結び目射影図でも交代ひずみ度が２のものもある。今のところ交代ひずみ度が２の結び目射影図まで決定できているが、感覚的には、交代ひずみ度が小さい結び目射影図は、たどったときに同じ場所に戻ってくるのが早い結び目射影図といえる。

      本講演では結び目射影図の独立領域集合というものを導入し、交代ひずみ度を上下から評価する不等式を与える。この不等式のポイントは、結び目射影図をたどることなく、つながり具合だけを見てひずみ度が評価できることである。

      本講演は、大屋敦士氏との共同研究に基づく。

  • 自由講演:
    • 講演者: 井上 歩氏 (津田塾大学)
    • 題目: 領域凍結選択ゲームについて (with 清水 遼氏)

• 第2回
  • 日時: 2023年5月13日(土) 13:30〜
    
  • 場所: 東京女子大学9号館9101教室＋オンライン(ZOOM)
    
  • 招待講演:
    • 講演者: 下川 航也氏 (お茶の水女子大学)
      
    • 題目: 渦・超分子・高分子の作る結び目
      
    • アブストラクト:
      最近では、結び目の概念が広く知れ渡り、様々なところで結び目が観測されている。この講演では、渦や欠陥線として現れる結び目、超分子の作る結び目、高分子の作る結び目について、それらの構造とモデル化、および、どのように結び目理論の議論が応用されているかを紹介する。

  • 自由講演:
    • 講演者: 井上 歩氏 (津田塾大学)
    • 題目: $(-)$もろて型ではない結び目の構成法 (中間報告)

• 第1回
  • 日時: 2023年4月8日(土) 13:30〜
    
  • 場所: 東京女子大学9号館9101教室
    
  • 招待講演:
    • 講演者: 児玉 悠弥氏(東京都立大学)，高野 暁弘氏(東京大学)
      
    • 題目: Thompson knot theory における2つの "$p$ 彩色可能性"
      
    • アブストラクト:
      近年、Jones は Thompson 群 $F$ のユニタリ表現に関する研究を行い、その中で $F$ の元から絡み目を構成する方法を導入した。これにより Thompson 群と結び目理論との関係が構築された（Aiello はこれを Thompson knot theory と呼んでいる）。この理論は組み紐群の類似と呼べるものであり、Jones はその結果の1つとして、Alexander の定理を証明した。つまり、任意の絡み目は Thompson 群のある元から得られる。一方、Markov の定理は現在のところ証明されていない。
      さて、Jones は自身が構成した $F$ の表現のある stabilizer として、いくつかの部分群を定義した。Thompson knot theory における自然な問いとして、「$F$ の部分群の元から得られる絡み目の性質を調べよ」ということが挙げられる。我々は、Jones が定義した $3$ 彩色可能部分群と呼ばれる $F$ の部分群の非自明な元から得られる絡み目は全て $3$ 彩色可能であることを示した。本講演では、この結果を $3$ 以上の奇数 $p$ に対して拡張する。すなわち、$p$ 彩色可能部分群を定義し、その群の非自明な元から得られる絡み目は全て $p$ 彩色可能であることを示す。また、その部分群は、$F$ のある一般化である Brown-Thompson 群と同型であることも示す。

  • 自由講演:
    • 講演者: 新國 亮氏 (東京女子大学)
    • 題目: On minimal crossing numbers of spatial complete graphs on 7 and 8 vertices

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